Inequality problems part 1

ข้อสอบแข่งขันเพื่อฝึกประสบการณ์

1.กำหนดให้ x,y,z เป็นจำนวนจริง ซึ่ง x^2 + y^2 + z^2 + 9 = 4(x + y + z)
จงพิสูจน์ว่า x^4 + y^4 + z^4 + 16(x^2 + y^2 + z^2 ) \ge 8(x^3 + y^3 + z^3 ) + 27

2.กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง abc = 1
จงพิสูจน์ว่า \frac{{ab}}{{a^5 + b^5 + ab}} + \frac{{bc}}{{b^5 + c^5 + bc}} + \frac{{ca}}{{c^5 + a^5 + ca}} \le 1

3.กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง a + b + c = 1
จงพิสูจน์ว่า \frac{3}{4} < \frac{a}{{1 + bc}} + \frac{b}{{1 + ac}} + \frac{c}{{1 + bc}} < 1

4. กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก
จงพิสูจน์ว่า a^{2554}+b^{2554}+c^{2554}\ge\left({\frac{{a+2b}}{3}}\right)^{2554}+\left({\frac{{b+2c}}{3}} \right)^{2554}+\left({\frac{{c+2a}}{3}}\right)^{2554}

5. กำหนดให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง x^2+y^2+z^2=3
จงพิสูจน์ว่า \frac{3}{2}<\frac{{1+y^2}}{{2+x}}+\frac{{1+z^2}}{{2+y}}+\frac{{1+x^2}}{{2+z}}<3

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: